Exploitation d'un Arbre de défaillances

L’arbre de défaillances (AdD) est un outils intéressant dans la sureté de fonctionnement et l’analyse des risques. Nous exposons ici les étapes d’exploitation de l’Arbre de défaillances à l’aide d’un exemple explicatif.

Table des matières

Fonction de structure de l’Arbre de défaillances

Il s’agit d’écrire la fonction logique de l’événement sommet (ES) en fonction des événements de base. On arrive finalement à une expression se forme d’une somme de produits, où chaque terme représente une des coupes minimales pour cet arbre de défaillances. L’expression de ES est dérivée directement de l’arbre comme suit :

ES = E{I_1} \cdot E{I_2} = (E{I_3} \cdot E{I_4}) \cdot E{I_2} = (A + D) \cdot (B + E) \cdot (C + E)

Après distribution et simplification, On obtient l’expression suivante :

On dit que l’événement sommet ES est écrit en fonction des événements de base. Cette expression est une somme de produits où chaque terme représente une coupe minimale de l’arbre.

Calcul de probabilité

Nous exposons ici deux méthodes pour calculer la probabilité de l’événement sommet ES.

Méthode de disjonction des coupes minimales

Il s’agit d’enlever directement les disjonctions entre les termes de l’expression de l’ES (les coupes minimales $ABC,DBC,DE$ et $AE$ ). Pour simplifier l’application avec cette méthode, on propose les étapes suivantes:

1. Ordonner les coupes minimales;

2. Multiplier chaque coupes minimale avec les compléments des coupes précédentes;

3. Faire la somme des probabilités.

ABC \to ABC \cdot \overline {DE} \cdot \overline {AE}

DBC \to DBC \cdot \overline {ABC} \cdot \overline {DE} \cdot \overline {AE}

Par la suite, on obtient la probabilité de ES comme suit: $P(ES) = P(AE) + P(DE \cdot \overline {AE} )$ $+ P(ABC \cdot \overline {DE} \cdot \overline {AE} )$ $+ P(DBC \cdot \overline {ABC} \cdot \overline {DE} \cdot \overline {AE} )$

Formule d’inclusion-Exclusion (Sylvester-Poincaré)

En appliquant la formule suivante, on peut obtenir la probabilité de l’événement sommet si leur expression est une somme des produits. $P\left( {\bigcup\nolimits_{i = 1}^n { A\nolimits_i } } \right)$ = $\sum\limits_{k = 1}^n { {\left( { - 1} \right)}\nolimits^{k - 1} }$ $\left[ {\sum\limits_{1 \le i1 < i2 < ... < ik \le n} {P\left( { A\nolimits_{i1} \cap A\nolimits_{i2} \cap ... \cap A\nolimits_{ik} } \right)} } \right]$
$P(ES) = P(ABC) + P(DBC) + P(DE) + P(AE)$ – $P(ABC \cap DBC) - P(ABC \cap DE) - P(ABC \cap AE) - P(DBC \cap DE)$ – $P(DBC \cap AE) - P(DE \cap AE) + P(ABC \cap DBC \cap DE) + P(ABC \cap DBC \cap AE) +$

P(ABC \cap DE \cap AE) + P(DBC \cap DE \cap AE) - P(ABC \cap DBC \cap DE \cap AE)

Après simplification des termes entre parenthèses, On peut obtenir directement la probabilité de ES en fonction des probabilités des événements de base.

Calcul d’importance

Un facteur d’importance est la quantité qui représente la participation d’un événement de base dans l’occurrence de l’événement sommet. Si cet événement sommet décrit la défaillance d’un système quelconque et les événements de base représentent des défaillances de composants, le facteur d’importance est la contribution du composant à la défaillance globale du système.

Le facteur d’importance marginale (MIF) ou de Birnbaum peut être exprimé comme la probabilité d’occurrence de l’événement sommet sachant l’occurrence de l’événement de base moins la probabilité d’occurrence de l’événement sommet sachant la non-occurrence de l’événement. Le facteur (MIF) d’un composant (I) est donné par la formule :

Reprenons notre exemple, le facteur d’importance lié à l’événement A est obtenu à l’aide de la formule suivante: $MI{F_A} = P(ES/A) - P(ES/\overline A )$