L’aspect probabiliste est important dans les études de sûreté de fonctionnement et d’analyse des risques. Cet article mis le point sur l’algèbre des événements et contient tous les éléments nécessaires pour débuter le calcul des probabilités.
Algèbre des événements
Soit Ω l’ensemble d’issues d’une expérience aléatoire E. P (Ω) est l’ensemble des parties de Ω muni des opérations ( U, ∩, complémentation ). ( P(Ω), U, ∩, – ) s’ appelle algèbre des événements à l’expérience E.
Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat.
Exemple : Si on lance un dé qui n’est pas truqué, on ne peut pas prévoir le numéro de sa face supérieure.
Lancer ce dé est une expérience aléatoire.
Épreuve
On appelle épreuve d’une expérience aléatoire, chaque répétition de l’expérience aléatoire.
Événement
Étant donné une expérience aléatoire, on appelle événement lié à cette expérience aléatoire, toute assertion, vraie ou fausse suivant l’issue de l’expérience. Si l’assertion est vraie, on dit que l’événement est réalisé.
On lance un dé aléatoire, l’issue de cette expérience est le numéro de la face supérieure. Cette expérience a six issues : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
L’assertion « le numéro est pair » est un événement lié à cette expérience aléatoire.
Univers des possibles
On appelle univers des possibles d’une expérience aléatoire, l’ensemble Ω des issues de cette expérience.
On lance un dé aléatoire et on observe sa face supérieure, l’univers des possibles a six éléments 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 :
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Conjonction de deux événements
Soit E une expérience aléatoire, A et B deux événements liés à cette expérience. On appelle conjonction de ces événements, l’événement « A ∩ B ».
« A ∩ B » est réalisé si A et B sont réalisés. « A ∩ B » n’est pas réalisé si au moins un des deux événements n’est pas réalisé.
On lance un dé aléatoire, l’issue de cette expérience est le numéro de la face supérieure.
Soit A « le numéro est pair » et B « le numéro est un multiple de 3 ». A ∩ B est « le numéro est le numéro 6 ».
Disjonction de deux événements
Soit E une expérience aléatoire, A et B deux événements liés à cette expérience. On appelle disjonction de ces événements, l’événement « A U B ».
« A U B » est réalisé si au moins un des deux événements A ou B est réalisé. « A U B » n’est pas réalisé si aucun des deux événements A ou B n’est réalisé.
On lance un dé aléatoire, l’issue de cette expérience est le numéro de la face supérieure.
Soit A « le numéro est pair » et B « le numéro est un multiple de 3 ». « A U B » est « les numéros 2, 3, 4, 6 ».
Événement certain
Soit E une expérience aléatoire et A un événement lié à cette expérience. On dit que A est un événement certain, s’il est réalisé quelle que soit l’issue de l’expérience E.
On lance un dé aléatoire, l’issue de cette expérience est le numéro de la face supérieure.
L’événement « le numéro sur la face supérieure du dé est inférieur à 7 » est un événement certain.
Événement impossible
Soit E une expérience aléatoire et A un événement lié à cette expérience. On dit que A est un événement impossible, s’il n’est pas réalisé, quelle que soit l’issue de l’expérience E.
On lance un dé aléatoire, l’issue de cette expérience est le numéro de la face supérieure.
L’événement « le numéro sur la face supérieure du dé est le numéro 7 » est un événement impossible.
Événements incompatibles
Soit E une expérience aléatoire. A et B deux événements liés à cette expérience. On dit que A et B sont incompatibles ou encore disjoints s’ils ne peuvent pas se réaliser pendant la même expérience.
On lance un dé aléatoire, l’issue de cette expérience est le numéro de la face supérieure.
Les événements « le numéro est inférieur ou égal à 2 » et « le numéro sur la face supérieure est supérieur ou égal à 5 » sont incompatibles.
Événements complémentaires
On dit que deux évènements A et sont complémentaires lorsqu’ils sont incompatibles et que leur union correspond à l’univers des résultats possibles.
Espace de probabilité
Soit E une expérience aléatoire ayant un nombre fini d’issues. Ω l’ensemble des issues.
P : P (Ω) → [0, 1] est une probabilité.
Le triplet ( Ω, P (Ω), P ) s’appelle un espace de probabilité.
Système complet d’événements
Ω l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire E.
A1, A2, …, An sont n événements liés à l’expérience E. On dit que les événements A1, A2, …, An constituent un système complet d’événements, si les propriétés suivantes sont satisfaisantes :
Ai ∩ Aj = ∅ ; i ≠ j
P(Ai)⋅P(Aj)= 0
A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = Ω
P(A1)+P(A2)+ … +P(An)=1
Événements indépendants
Soit ( Ω, P (Ω), P ) un espace de probabilité, A et B deux événements liés à cet espace. On dit que A et B sont indépendants, si P(A∩B) = P(A)⋅P(B).
Événements mutuellement indépendants
Soit ( Ω, P (Ω), P) un espace de probabilité. (A1, A2, …, An) n événements liés à cet espace.
On dit que ces événements sont mutuellement indépendants, si la probabilité de la conjonction de deux ou plusieurs de ces événements égale au produit de leurs probabilités.
Principe d’inclusion-exclusion
Si X et Y sont deux événements.
P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X∩Y)
Probabilité conditionnelle
( Ω, P (Ω), P ) un espace de probabilité, A un événement lié à cet espace et P(A) ≠ 0.
P(A | B) s’appelle la probabilité conditionnelle de A sous la condition de réalisation de B, ou encore la probabilité de A sachant B.
Exercice :
4 % des français sont atteints du cancer du poumon,
75 % des malades sont des fumeurs,
60 % des français sont des fumeurs.
Soit A l’événement « être atteint du cancer » et B l’événement « être fumeur ».
Nous avons: P(B | A) = 0.75, P(A) = 0.04 et P(B) = 0.6.
D’où P(A∩B) = P(A)⋅P(B | A); (probabilité qu’un français soit atteint de la maladie et fumeur)
P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}}; (probabilité qu’un fumeur soit atteint du cancer).
Formule des probabilités totales
Soit ( Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé fini. B1 , B2 , … , Bn un système complet d’événements A ∈ P ( Ω ). La formule suivante s’appelle la formule des probabilités totales :
P(A) = P(A | B1 ) P( B1 ) + P(A | B2 ) P( B2 ) + … + P(A | Bn ) P( Bn )
Exemple: Dans une usine, un opérateur sur trente (1/30) est non qualifié. La probabilité de provoquer un accident est de 1/200 pour un opérateur qualifié, et de 1/20 pour un opérateur non qualifié.
1. Quelle est la probabilité qu’un opérateur quelconque provoque un accident ?
2. On observe qu’un accident s’est produit, avec quelle probabilité qu’il soit imputable à un opérateur non qualifié ?
Solution : Nous avons: P(A|Q) = \frac{1}{{200}} et P(A|NQ) = \frac{1}{{20}}
1. P(A) = P(A\left| Q \right.) \cdot P(Q) + P(A\left| {NQ} \right.) \cdot P(NQ)
2. P(NQ\left| A \right.) = \frac{{P(A\left| {NQ} \right.) \cdot P(NQ)}}{{P(A)}}
Formule de Bayes
Soit ( Ω, P(Ω), P ) un espace de probabilité fini. A et B deux événements,
P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0.
On a P(B | A) = \frac{{P(A\left| B \right.) \cdot P(B)}}{{P(A)}}
Soit B1 , B2 , … , Bn un système complet d’événements
A, un événement et i ∈ {1, n}
P(Bi | A) = \frac{{P(A\left| {{B_i}} \right.) \cdot P({B_i})}}{{P(A\left| {{B_1}} \right.) \cdot P({B_1}) + P(A\left| {{B_2}} \right.) \cdot P({B_2}) + … + P(A\left| {{B_n}} \right.) \cdot P({B_n})}}
Application: Si A représente l’événement conséquence ayant une série de causes exhaustives et bien déterminées, la formule de Bayes est appliquée.
