Objectif de la régression linéaire
La régression linéaire est une méthode utilisée dans l’analyse des données. Son but est de chercher à établir une relation linéaire entre deux variables. Cela permet par la suite d’établir une courbe prévisionnelle.
Exemple d’application
Existe-t-il une relation linéaire entre le nombre d’heures passées à étudier les maths X et le résultat au test Y ?
| Heures X | 1 | 3 | 3 | 5 |
| Résultats (Notes) Y | 3 | 4 | 6 | 5 |
La droite de régression doit passer au mieux par tous les points du nuage.
La méthode pour tracer cette courbe s’appelle : la méthode des moindres carrés.
Le tableau ci-dessous contient tous les calculs nécessaires.
| X | Y | XY | X2 | Y2 | |
| 1 | 3 | 3 | 1 | 9 | |
| 3 | 4 | 12 | 9 | 16 | |
| 3 | 6 | 18 | 9 | 36 | |
| 5 | 5 | 25 | 25 | 25 | |
| Somme | 12 | 18 | 58 | 44 | 86 |
| Moyenne | 3 | 4.5 | 14.5 | 11 | 21.5 |
a=\frac{{\left( {14.5 - 3 \times 4.5} \right)}}{{\left( {11 - 9} \right)}}=0.5
b=4.5-0.5×3=3
L’équation de la droite est donnée par : Y=0.5 X+3
La régression linéaire se fait automatiquement en utilisant le logiciel Excel.
Mesurer maintenant la qualité de l’ajustement par calculer le coefficient de corrélation linéaire r. Pour voir si la droite obtenue est adaptée au valeur de X et Y.
V(Y)=σ(Y)²=\overline {{Y^2}} - {\overline Y ^2}=21.5-(4.5)²=1.25
σ(X) est l’écart type de la variable X.
r=\frac{{Cov\left( {X;Y} \right)}}{{\sqrt {V(X)} \cdot \sqrt {V(Y)} }}=\frac{1}{{\sqrt 2 \sqrt {1.25} }}≅0.630>>0
Signification du coefficient de corrélation linéaire r
On peut considérer que si r>0,8 la corrélation est bonne.
