ANOVA Analyse de la variance

ANOVA (Analysis of variance en anglais) est un outil statistique très reconnu dans le domaine d’analyse des données. Dans cet article nous allons voir les objectifs de ANOVA et comment la dérouler à l’aide d’un exemple d’application.

Objectifs de ANOVA

La méthode d’analyse de variance ANOVA permet de :

– Envisager l’étude de la dépendance d’une variable quantitative continue à une ou deux variables qualitatives (facteurs).

– Analyser l’effet de ces facteurs sur la variable quantitative (un ou deux facteurs).

Prenons l’exemple de la performance sportive :

(Nombre de points/ temps de repos) Variable quantitative (?   ?   ?   ?)

Nous avons le temps de repos en trois (3) modalités (inférieur à 6 heures, entre 6 et 8 heures et supérieur à 8 Heures).

Analyse de la dépendance de la variable quantitative (Performance) au facteur qualitatif (Temps de repos), c-à-dire : analyser l’impact du temps de repos sur le nombre de points collectés par l’athlète ou l’équipe sportive.

<6heures	entre 6 & 8heures	>8heures
?	?	?
?	?	?
?	?	?

Contexte de l’ANOVA

1. Variable dépendante: quantitative continue.
2. Variable indépendante: les facteurs (Variable qualitative).
3.  Il s’agit d’établir si la dépendance étudiée est-elle ou non significative pour le facteur considéré ?
4. Tester si la moyenne de la variable quantitative est-elle homogène sur l’ensemble des modalités de la variable qualitative.
5. Rejeter l’hypothèse nulle H0 d’égalité des moyennes par analyse la variance. Il s’agit d’un test qui s’appelle : Test F de Fisher.

Exemple d’application ANOVA : Un Facteur

Voici l’exemple du tableau ci-dessous, décrivant une population de trois classes (m=3) A, B et C. Chaque classe contient trois (n=3) données. L’exemple est bien expliqué sur la chaine YouTube KhanAcademyFrancophone.

A	B	C
3	5	5
2	3	6
1	4	7

Calcul des sommes des carrées

Etape 1 : Calculer la moyenne générale 

=(3+2+1+5+3+4+5+6+7)/9=4

Etape 2 : Calculer les moyennes des classes

X1=(3+2+1)/3=2

X2=(5+3+4)/3=4

X3=(5+6+7)/3=6

Etape 3 : Calculer les sommes des carrées

 SCT=(3-4)²+(2-4)²+(1-4)²+(5-4)²+(3-4)²+(4-4)²+(5-4)²+(6-4)²+(7-4)²=30

Degré de liberté : DDL=m∙n-1=8

SCintra=(3-2)/2+(2-2)/2+(1-2)/2+(5-4)/2+(3-4)/2+(4-4)/2+(5-6)/2+(6-6)/2+(7-6)/2=6 

Degré de liberté : DDL1=m∙n-1=6

SCinter=(2-4)/2+(2-4)/2+(2-4)/2+(4-4)/2+(4-4)/2+(4-4)/2+(6-4)/2+(6-4)/2+(6-4)/2=24 

Degré de liberté : DDL2=m-1=2

Remarque : DDL=DDL1+DDL2 et SCT=SCintra+SCinter

Vérifier si les moyennes réelles sont-elles identiques ou non

Nous avons deux suppositions :

H0 (hypothèse nulle): la variable qualitative n’a pas d’impact sur la variable quantitative (dans l’exemple précédent : le temps de repos n’a pas d’impact sur la performance sportive).

H1: la variable qualitative a un impact sur la variable quantitative (dans l’exemple précédent : le temps de repos a un impact sur la performance sportive).

On suppose que H0 est vraie. Ensuite on va calculer la statistique F où :

F=\frac{{SCinter/(m - 1)}}{{SCintra/(m \cdot n - 1)}}=(24/2)/(6/6)=12

Le numérateur et le dénominateur de F représentent deux variables aléatoires qui suivent une loi de χ2 avec les deux degrés de liberté (m-1) et (m∙n-1) et F suit une loi de Fisher ou encore une loi de Fisher-Snedecor.

Dans la table de la loi  de Fisher, on obtient la valeur Fcritique=3,46 pour les deux degrés (2 et 6) avec un seuil de signification α=10%=0.1.

Si le numérateur de la statistique F est plus grand que le dénominateur ⇒ la part de variation entre les moyennes de classes est plus importante que la variation à l’intérieur des classes elles mêmes ⇒ la variable qualitative a un impact sur la variable quantitative considérée ⇒ une très faible probabilité que la variable qualitative n’a pas d’impact Fcritique et Pvaleur. Donc, il est fortement probable que le temps de repos a un impact sur nombre de points collectés (Si on prend l’exemple de la performance sportive).

Résultats sous Excel

Le tableau suivant donne les résultats de ANOVA obtenue par le logiciel Excel.